Trực tâm trong không gian hay trực tâm trong tam giác là những kiến thức hình học cơ bản mà chúng ta đã được học trong chương trình toán học. Vậy trực tâm là gì? Làm thế nào để xác định được trực tâm trong tam giác? Cùng maytaoamcongnghiep.com cùng tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và các bài tập liên quan đến trực tâm trong bài viết dưới đây nhé!
Trực tâm của tam giác là gì?
Trực tâm tam giác là gì? – Trong 1 tam giác bất kỳ có 3 đường cao và ba đường này cùng đi qua 1 điểm thì điểm này chính là trực tâm của tam giác. Vì vậy câu trả lời cho câu hỏi “Trực tâm là giao điểm của ba đường gì?” chính là ĐƯỜNG CAO.
Đường cao của tam giác chính là đoạn thẳng kẻ từ 1 đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy tương ứng với mỗi đường cao.
Ví dụ: Giả sử cho tam giác ABC có ba đường cao AH, BK, CI.Gọi S là giao điểm của 3 đường cao trên thì S chính là trực tâm của tam giác ABC.
Trực tâm có tính chất gì?
Dưới đây là những tính chất của đường trực tâm trong tam giác:
- Tính chất 1: Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
- Tính chất 2: Trong tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
- Tính chất 3: Trong tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
- Tính chất 4: Đường cao của tam giác ứng với 1 đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại 1 điểm thứ 2 sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
- Tính chất 5: Trực tâm trong tam giác nhọn sẽ trùng với đường trọn nội tiếp có 3 đỉnh là chân 3 đường cao từ các đỉnh đến các cạnh đối diện tương ứng.
Từ những tính chất trên ta có thể rút ra được hệ quả như sau: Trong 1 tam giác đều, trọng tâm, trực tâm và điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều 3 đỉnh và cách đều 3 cạnh là một điểm duy nhất.
Làm thế nào để xác định trực tâm của tam giác?
Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau giữa 3 đường cao trong tam giác. Tuy nhiên, để xác định được trực tâm trong tam giác thì chúng ta không cần nhất thiết phải vẽ cả 3 đường cao.
Bởi khi vẽ 2 đường cao của tam giác là chúng ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi. Đối với những loại tam giác thông thường như tam giác tù, tam giác nhọn, hay tam giác đều thì chúng ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau.
Từ 2 đỉnh của tam giác ta kẻ 2 đường cao của tam giác đến 2 cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì đó chính là trực tâm của tam giác đó. Và dù ta không cần kẻ đường cao còn lại thì nó cũng chắc chắn sẽ đi qua trực tâm của tam giác.
Đối với tam giác vuông, cách xác định đường cao sẽ khác một chút. Bởi tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông chính là 2 đường cao của tam giác, vì 2 cạnh vuông góc với nhau. Vì vậy, trực tâm của tam giác vuông sẽ trùng với đỉnh của góc vuông.
Bài tập áp dụng về trực tâm của tam giác
Qua những câu hỏi trên chắc hẳn các bạn đã hiểu rõ khái niệm, tính chất của trực tâm là gì trong tam giác rồi. Và dưới đây là một số bài tập liên quan để củng cố kiến thức về trực tâm các bạn có thể tham khảo:
Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông và gọi H là trực tâm của tam giác. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC, từ đó chỉ ra trực tâm của tam giác này.
Hướng dẫn giải:
Gọi E, D, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh B, A, C của tam giác ABC.
⇒ BE ⟘ AC, AD ⟘ BC, CF ⟘ AB.
ΔHBC có :
- BC⊥ AD nên AD chính là đường cao từ H đến BC
- HC ⊥ BA tại F nên BA chính là đường cao từ B đến HC.
- BH ⊥ CA tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
Mà 3 đường thẳng CA, BA, AD cắt nhau tại A nên A sẽ là trực tâm của tam giác HCB.
Bài 2: Cho tam giác ABC không vuông có H là trực tâm. Hãy chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, HCA, HCB, HAB là bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
TH1: Tam giác ABC có 3 góc nhọn. Lúc này ta sẽ gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và HBC.
Áp dụng định lý Sin ta sẽ có:
Do vậy 2R1= 2R2 ⇒ R1 = R1.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC sẽ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tương tự như vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB, HCA đều bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài viết trên chúng tôi đã tổng hợp những kiến thức liên quan đến trực tâm và cách xác định trực tâm trong tam giác là gì? Hy vọng nó sẽ bổ sung những kiến thức hữu ích cho các bạn trong quá trình học tập, nghiên cứu của bạn. Chúc bạn thành công.
