Trực tâm tam giác là giao của những đường nào và nó có tính chất gì? Nắm được những kiến thức này sẽ giúp các bạn học sinh có thể dễ dàng giải và chứng minh các bài toán hình học. Trực tâm là gì, xác định trực tâm trong tam giác như thế nào? Bài viết dưới đây của chúng tôi sẽ giúp bạn làm rõ những vấn đề này nhé!

Khái niệm về trực tâm trong tam giác

Trực tâm được xác định là giao điểm của 3 đường cao được kẻ từ 3 đỉnh của một tam giác bất kỳ. Cũng tương tự như trọng tâm, trực tâm là một điểm đặc biệt của tam giác và có những tính chất riêng. Tùy vào loại tam giác cụ thể mà trực tâm của nó có thể nằm bên trong hoặc bên ngoài tam giác đó.

Để có thể hiểu rõ về trực tâm là gì, bạn cần nắm được các thông tin trong khái niệm trực tâm. Đường cao từ đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đến cạnh đối diện.

Đường cao từ đỉnh bất kỳ của tam giác phải vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao và độ dài của đường cao chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng.

Ví dụ, cho tam giác ΔABC không phải tam giác vuông và 3 đường cao từ các đỉnh lần lượt là AD, BE, CF. G là giao điểm của AD, BE, CF thì G chính là trực tâm của tam giác ABC.

Các tính chất của trực tâm là gì?

Các điểm đặc biệt trong tam giác có tính chất, hệ quả quan trọng. Để có thể giải các bài tập nhanh chóng, bạn cần nắm được các định lý, tính chất của trực tâm.

Tính chất của trực tâm

Trực tâm trong tam giác có 5 tính chất quan trọng như sau:

Tính chất 1:

Trong một tam giác cân (có 2 góc hoặc có 2 cạnh bên bằng nhau), đường trung trực ứng với cạnh đối diện sẽ đồng thời là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác từ đỉnh đó.

Tính chất 2:

Khi xét một tam giác, nếu đường trung tuyến cũng đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó cân.

Tính chất 3 của trực tâm là gì:

Khi xét một tam giác, nếu đường trung tuyến cũng đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó cân.

Tính chất 4:

Tam giác nhọn ΔABC có trực tâm G trùng với tâm O của đường tròn nội tiếp tạo thành bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng của 3 đỉnh tam giác ΔABC.

Tính chất 5:

Ba đường cao của tam giác cùng cắt 1 điểm là trực tâm của tam giác đó. Khoảng cách từ tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng 1/2 khoảng cách từ trực tâm G đến đỉnh còn lại trong tam giác.

Các hệ quả từ tính chất của trực tâm là gì?

Từ các tính chất của giao điểm 3 đường cao trong tam giác, người ta xác định được định lý Carnot như sau: Đường cao từ đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp ở đâu, điểm đó là điểm đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy đối xứng của đỉnh đó.

Để chứng minh, xét tam giác ΔABC có trực tâm là G với đường cao AD cắt đường tròn ngoại tiếp tại H. Theo định lý Carnot trên thì G sẽ đối xứng với H qua cạnh BC.

Ví dụ: Cho tam giác ΔABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔABC tại D, trực tâm là điểm P.

Hệ quả 1 của lý thuyết trực tâm là gì trong tam giác: Tam giác đều (3 cạnh hoặc 3 góc bằng nhau) thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp – nội tiếp là 1 điểm chung.

Ví dụ: Xét tam giác đều ΔABC, đường cao sẽ đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác từ đỉnh đến cạnh đối diện. Trực tâm G sẽ đồng thời là tâm của đường tròn nội tiếp – ngoại tiếp của tam giác đều ΔABC.

Từ đó, ta có được hệ quả sau cùng: Trong tam giác đều thì trọng tâm, trực tâm cũng là điểm nằm trong tam giác, cách đều 3 đỉnh, cách đều 3 cạnh của tam giác đó.

Cách xác định trực tâm là gì trong tam giác

Trực tâm của một tam giác sẽ là giao điểm của 3 đường cao của tam giác đó. Chỉ cần vẽ được 2 đường cao là bạn đã có thể xác định được trực tâm, đó là giao điểm 2 đường cao cắt nhau và chắc chắn đường cao thứ 3 cũng đi qua.

Trường hợp tam giác nhọn, tam giác tù hoặc các tam giác đặc biệt (cân, đều) thì chúng ta cũng đều có thể xác định trực tâm bằng cách trên.

Đối với tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh của góc vuông. Điều này khá dễ hiểu bởi 2 đường cao của tam giác đó cũng chính là 2 cạnh của góc vuông.

Bạn có thể nhớ ngắn gọn trực tâm của các dạng tam giác được tóm tắt trong bảng dưới đây:

Trực tâm của tam giác nhọn	Nằm trong miền của tam giác
Trực tâm của tam giác vuông	Là đỉnh của góc vuông
Trực tâm của tam giác tù	Nằm ở miền ngoài của tam giác

Các bài tập về điểm trực tâm của tam giác

Để hiểu rõ hơn về khái niệm, tính chất của trực tâm là gì, hãy cùng làm một số bài tập dưới đây nhé!

Bài tập 1: Xác định trực tâm của tam giác

Đề bài:

Cho tam giác không vuông ΔABC với G là trực tâm. Chỉ ra các đường cao và chỉ ra trực tâm của tam giác GBC.

Lời giải:

Từ 3 đỉnh A, B, C của tam giác ΔABC, kẻ 3 đường cao tới các cạnh đối diện, cắt các cạnh lần lượt tại D, E, F.

Ta có:        AD 丄 BC

                BE 丄 AC

CF 丄 AB

Xét tam giác ΔGBC có:

• AD 丄 BC ⇒ AD cũng là đường cao từ G đến BC
• BA 丄 HC ⇒ BA cũng là đường cao từ B đến GC
• CA 丄 HG (tại điểm E) ⇒ CA cũng là đường cao từ C đến GB

Ta có, AD, BA, CA đều cắt nhau tại điểm A nên A là trực tâm cần tìm của tam giác ΔGBC.

Bài tập 2: Chứng minh các đường thẳng vuông góc với nhau nhờ tính chất của trực tâm là gì

Đề bài:

Tam giác ABC có đường cao từ các đỉnh lần lượt là AD, BE và CF chúng cắt nhau tại điểm H. Gọi I và J là các trung điểm của AH và BC.

Hãy chứng minh:

1. JT 丄 EF

2. IE 丄 JE

Lời giải:

1. Áp dụng các tính chất về đường trung bình trong tam giác vuông, ta có:

        FI = 12AH = EI*FJ

        FI = 12BC = EJ*FI

⇒ IJ là đường trung trực của EF

⇒ JT 丄 EF (điều phải chứng minh)

2. Ta có:

Góc ∠E1 = ∠H1

Góc ∠E3 = ∠ECJ

Vì ∠H1 và ∠ECJ cùng phụ ∠EAH nên có thể suy ra ∠H1 = ∠ECJ

⇒ ∠E1 = ∠E3

⇒ ∠IEJ = ∠E1 + ∠E2 = ∠E3 + ∠E2 = 90o

⇒ IE 丄 JE (Điều phải chứng minh)

Kết luận

Vừa rồi là những thông tin mà Maytaoamcongnghiep chia sẻ về trực tâm là gì và hướng dẫn một số dạng bài tập thường gặp của trực tâm tam giác. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn hiểu hơn về điểm trực tâm và giải quyết các bài toán một cách dễ dàng nhất!